关于为什么 $\sqrt{2}$ 是无理数

前期提要

笔者今日在耍手机途中恰巧看到曼士沉思录的视频, 其中提到一个证明&\sqrt{2}&是无理数的过程, 突然意识到好像从来没有思考过为什么$\sqrt{2}$是无理数, 故记录.

证明过程

• 已知: 无理数是无法写为整数分式形式的数, 即我们需要证明$\sqrt{2}$无法由整数分式形式表示

$${\because \sqrt{2}^2 = 2}$$

我们不妨先假设 $\sqrt{2}$是有理数, 即

$$\sqrt{2} = \frac{p}{q} \qquad 其中p,\, q \in Z^+ $$

则

$$ 2 = \frac{p^2}{q^2} $$

此时有

$$ p^2 = 2q^2 $$

所以$ \mathbf{p^2 是偶数,\, p是偶数} $

即

$$ p = 2k $$

此时

$$ 2 = \frac{4k^2}{q^2} \qquad 即 q^2 = 2k^2 $$

故$ \mathbf{q^2为偶数,\, q为偶数} $

则

$$ \frac{p}{q} = \frac{p/2}{q/2} $$

以此类推, 发现p和q可以无限缩小, 但正整数无法无限缩小, 故与条件冲突, 故得证 $\sqrt{2}$为无理数.