一、常见函数的泰勒展开式及其衍生
1.1 基础展开式
| 函数 | 展开式 | 收敛区间 | 收敛域 |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{1-x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots$ | $(-1,1)$ | $(-1,1)$ |
| $\frac{1}{1+x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - \cdots$ | $(-1,1)$ | $(-1,1)$ |
| $\frac{1}{(1+x)^2}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1)x^n$ | $(-1,1)$ | $(-1,1)$ |
| $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{2}}{n} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} x^n$ | $(-1,1)$ | $(-1,1]$ |
| $e^x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ | $(-\infty,\infty)$ | $(-\infty,\infty)$ |
| $a^x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^n}{n!} x^n$ | $(-\infty,\infty)$ | $(-\infty,\infty)$ |
| $\sin x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ | $(-\infty,\infty)$ | $(-\infty,\infty)$ |
| $\cos x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$ | $(-\infty,\infty)$ | $(-\infty,\infty)$ |
| $\ln(1+x)$ | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$ | $(-1,1)$ | $(-1,1]$ |
| $\arctan x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ | $(-1,1)$ | $[-1,1]$ |
1.2 衍生技巧
由 $\frac{1}{1-x}$ 出发：
- 求导：$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$
- 求积：$\int_0^x \frac{1}{1+t}dt = \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$
- 变量替换：将 $x$ 换为 $-x^2$ 得 $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$，再积分得 $\arctan x$
从 $e^x$ 出发，将 $x$ 换为 $x\ln a$ 即得 $a^x$ 的展开式。
由广义二项式定理：$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$，其中 $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$。取 $\alpha = -\frac{1}{2}$ 即得 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 的展开式。该级数在 $(-1,1)$ 内收敛，在 $x=1$ 处条件收敛（因为 $\alpha > -1$），在 $x=-1$ 处发散（因为 $\alpha \leq 0$）。
二、求无穷级数和函数的方法
原理
对幂级数逐项求导或逐项积分，收敛半径不变。利用这一性质，可先将原级数转化为已知和函数的级数形式，再通过逆运算求得原级数的和函数。
常用场景
| 原级数 | 操作 | 转化后 | 和函数 | 逆操作 |
|---|---|---|---|---|
| $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$ | 积分 | $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1} = \frac{x}{1-x}$ | $\frac{x}{1-x}$ | 求导得 $\frac{1}{(1-x)^2}$ |
| $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ | 求导 | $\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$ | $\frac{1}{1-x}$ | 积分得 $-\ln(1-x)$ |
| $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ | 求导 | $\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}$ | $\frac{1}{1-x^2}$ | 积分得 $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ |
三、正项级数审敛法
正项级数：通项 $u_n \geq 0$。
3.1 收敛的必要条件
若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。
逆否命题：若 $\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$，则级数发散。这是最基础的判散方法。
3.2 比较审敛法
通过与已知敛散性的级数逐项比较，判断目标级数的敛散性。
- 若 $u_n \leq v_n$ 且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛
- 若 $u_n \geq v_n$ 且 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散
3.3 比较审敛法的极限形式
设 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l$：
| $l$ 的值 | 结论 |
|---|---|
| $l = 0$ | 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛 |
| $l = \infty$ | 若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散 |
| $0 < l < \infty$ | $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散 |
3.4 比值审敛法（达朗贝尔审敛法）
设 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$：
| $\rho$ 的值 | 结论 |
|---|---|
| $\rho < 1$ | 收敛 |
| $\rho > 1$ | 发散 |
| $\rho = 1$ | 无法判断 |
适用于通项含阶乘、指数等因子时。
3.5 根值审敛法（柯西审敛法）
设 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$：
| $\rho$ 的值 | 结论 |
|---|---|
| $\rho < 1$ | 收敛 |
| $\rho > 1$ | 发散 |
| $\rho = 1$ | 无法判断 |
适用于通项含 $n$ 次幂时（如 $u_n = (a_n)^n$）。
直观理解：将级数与几何级数 $r^n$ 比较——当通项的 “$n$ 次方根” 极限小于 1，说明通项衰减得比某个收敛的几何级数还快。
3.6 拉贝审敛法
当比值法和根值法均得 $\rho = 1$ 时使用。
设 $\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} - 1\right) = R$：
| $R$ 的值 | 结论 |
|---|---|
| $R > 1$ | 收敛 |
| $R < 1$ | 发散 |
| $R = 1$ | 无法判断 |
典型用例：$p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$，比值法和根值法都得 $\rho = 1$，拉贝法得 $R = p$，故 $p > 1$ 收敛、$p \leq 1$ 发散。
3.7 积分审敛法
设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上非负且单调递减，且 $f(n) = u_n$，则：
$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n \quad \text{与} \quad \int_1^{\infty} f(x)\,dx \quad \text{同敛散}$$典型应用：$p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 通过 $\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$ 判定。
四、常见级数的敛散性
| 级数 | 条件 | 敛散性 |
|---|---|---|
| 调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ | — | 发散 |
| $p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ | $p \leq 1$ | 发散 |
| $p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ | $p > 1$ | 收敛 |
| 几何级数 $\sum r^n$ | $\lvert r \rvert < 1$ | 收敛 |
| 几何级数 $\sum r^n$ | $\lvert r \rvert \geq 1$ | 发散 |
五、交错级数的审敛法
交错级数形如 $\sum (-1)^{n-1} u_n$（$u_n > 0$）。
莱布尼茨审敛法
若交错级数同时满足：
- $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
- $u_{n+1} \leq u_n$（单调递减）
则该交错级数收敛。
注意：莱布尼茨审敛法只能判断收敛，不能判断发散——不满足条件时不意味发散。
六、绝对收敛与条件收敛
- 绝对收敛：$\sum |u_n|$ 收敛 $\implies$ $\sum u_n$ 收敛
- 条件收敛：$\sum |u_n|$ 发散，但 $\sum u_n$ 收敛
绝对收敛的级数具有更好的运算性质（可重排、可乘），条件收敛的级数重排可能改变和。
七、幂级数
收敛半径
对于幂级数 $\sum a_n x^n$，设 $\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$（或 $\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$）：
- 收敛半径 $R = \frac{1}{\rho}$（$\rho = 0$ 时 $R = \infty$；$\rho = \infty$ 时 $R = 0$）
- 级数在 $(-R, R)$ 内绝对收敛
- 端点 $x = \pm R$ 处需单独讨论敛散性
端点判定
将 $x = R$ 和 $x = -R$ 分别代入原级数，化为数项级数，再用正项级数或交错级数的审敛法判断。
八、傅里叶级数
8.1 三角函数系的正交性
三角函数系：
$$1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots, \cos nx, \sin nx, \ldots$$在区间 $[-\pi, \pi]$ 上正交，即其中任意两个不同函数的乘积在该区间上的积分为零：
$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \, dx = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \, dx = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx = 0 \quad (m \neq n)$$$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx = 0 \quad (m \neq n)$$$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \, dx = 0 \quad (\text{任意 } m, n)$$两个相同函数的乘积积分不为零：
$$\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 \, dx = 2\pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx \, dx = \pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 nx \, dx = \pi$$8.2 周期为 $2\pi$ 的函数的傅里叶级数
设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的可积函数，则其傅里叶级数为：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$其中傅里叶系数由正交性导出：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$推导思路：将展开式两边同乘 $\cos nx$（或 $\sin nx$）后在 $[-\pi, \pi]$ 上积分，利用正交性，除目标项外其余积分全为零，即得系数公式。
8.3 收敛定理（狄利克雷条件）
若 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上满足：
- 至多只有有限个第一类间断点（即跳跃间断点，左右极限均存在）
- 至多只有有限个极值点
则 $f(x)$ 的傅里叶级数处处收敛，且：
- 当 $x$ 为 $f$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$
- 当 $x$ 为 $f$ 的间断点时，级数收敛于左右极限的平均值：
注意：将函数展开为傅里叶级数时，在间断点上级数不收敛于 $f(x)$ 本身，应单独讨论间断点处的和。
8.4 正弦级数与余弦级数
奇偶性与级数形式：
| $f(x)$ 的奇偶性 | $a_n$ | $b_n$ | 级数形式 |
|---|---|---|---|
| 奇函数 | $a_n = 0$ | $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx$ | 正弦级数：$\sum b_n \sin nx$ |
| 偶函数 | $a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,dx$ | $b_n = 0$ | 余弦级数：$\frac{a_0}{2} + \sum a_n \cos nx$ |
非周期函数在 $[0, \pi]$ 上的展开：
对于仅定义在 $[0, \pi]$ 上的函数，可通过延拓展开为正弦级数或余弦级数：
- 正弦级数（奇延拓）：令 $F(x) = \begin{cases} f(x), & x \in (0, \pi] \\ 0, & x = 0 \\ -f(-x), & x \in [-\pi, 0) \end{cases}$，再将 $F(x)$ 以 $2\pi$ 为周期延拓
- 余弦级数（偶延拓）：令 $F(x) = f(|x|)$（$x \in [-\pi, \pi]$），再将 $F(x)$ 以 $2\pi$ 为周期延拓
8.5 周期不为 $2\pi$ 的函数的傅里叶级数
设 $f(x)$ 是周期为 $2l$ 的可积函数，令 $x = \frac{l}{\pi} t$，将自变量缩放为以 $2\pi$ 为周期的函数，代入标准公式后再换回 $x$，得：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$其中：
$$a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$$$b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$收敛定理在 $[-l, l]$ 上同样适用，只需将条件中的区间从 $[-\pi, \pi]$ 换为 $[-l, l]$ 即可。
九、广义二项式定理
9.1 定理陈述
对于任意实数 $\alpha$，当 $|x| < 1$ 时有：
$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$$其中 广义二项式系数 定义为：
$$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$9.2 与普通二项式定理的关系
当 $\alpha = m$ 为正整数时，$\binom{m}{n}$ 在 $n > m$ 时分子出现零因子，因此级数退化为有限项求和，即中学所学的普通二项式定理：
$$(1+x)^m = \sum_{n=0}^{m} \binom{m}{n} x^n$$当 $\alpha$ 为负整数或分数时，级数是 无穷级数，因为分子永远不会出现零因子。
9.3 常见衍生展开式
取不同的 $\alpha$ 值可得一系列常用展开式：
| $\alpha$ | 函数 | 展开式 |
|---|---|---|
| $-1$ | $\frac{1}{1+x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ |
| $-2$ | $\frac{1}{(1+x)^2}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) x^n$ |
| $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} x^n$ |
| $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{1+x}$ | $1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \cdots$ |
这一系列展开式本质上是同一公式的不同特例，统一记 $(1+x)^\alpha$ 的展开即可。
9.4 收敛性分析
幂级数 $\sum \binom{\alpha}{n} x^n$ 的收敛半径恒为 $R = 1$（当 $\alpha$ 不是自然数时）。端点处的收敛性取决于 $\alpha$ 的值：
| 端点 | 收敛条件 | 直观理解 |
|---|---|---|
| $x = 1$ | $\alpha > -1$ 时收敛 | $\alpha$ 足够大，通项衰减足够快 |
| $x = 1$ | $\alpha \leq -1$ 时发散 | 通项不趋于零或衰减过慢 |
| $x = -1$ | $\alpha > 0$ 时绝对收敛 | 正项级数，通项衰减快 |
| $x = -1$ | $-1 < \alpha \leq 0$ 时条件收敛 | 交错级数，莱布尼茨条件满足 |
| $x = -1$ | $\alpha \leq -1$ 时发散 | 通项不趋于零 |
以 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$（$\alpha = -\frac{1}{2}$）为例：
- 在 $x = 1$ 处：$\alpha = -0.5 > -1$，级数收敛（条件收敛）
- 在 $x = -1$ 处：$\alpha = -0.5 \leq 0$，级数发散
- 收敛域：$(-1, 1]$
9.5 广义二项式系数的等价形式
$$\binom{-\frac{1}{2}}{n} = (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$$其中 $(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1$ 为双阶乘，$(2n)!! = 2^n n!$。
推导思路：将分子 $\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\cdots$ 的负号提出，奇数乘积写为双阶乘，再转化为普通阶乘形式。