无穷级数复习笔记

2208794899@qq.com (HinanawiTeriko) — Tue, 23 Jun 2026 01:00:00 +0800

作者：HinanawiTeriko（2208794899@qq.com）

一、常见函数的泰勒展开式及其衍生

函数	展开式	收敛区间	收敛域
$\frac{1}{1-x}$	$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots$	$(-1,1)$	$(-1,1)$
$\frac{1}{1+x}$	$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - \cdots$	$(-1,1)$	$(-1,1)$
$\frac{1}{(1+x)^2}$	$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1)x^n$	$(-1,1)$	$(-1,1)$
$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$	$\sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{2}}{n} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} x^n$	$(-1,1)$	$(-1,1]$
$e^x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$	$(-\infty,\infty)$	$(-\infty,\infty)$
$a^x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^n}{n!} x^n$	$(-\infty,\infty)$	$(-\infty,\infty)$
$\sin x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$	$(-\infty,\infty)$	$(-\infty,\infty)$
$\cos x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$	$(-\infty,\infty)$	$(-\infty,\infty)$
$\ln(1+x)$	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$	$(-1,1)$	$(-1,1]$
$\arctan x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$	$(-1,1)$	$[-1,1]$

由 $\frac{1}{1-x}$ 出发：

本文2026-06-23首发于HinanawiTeriko's Blog，最后修改于2026-06-23

2208794899@qq.com (HinanawiTeriko) — Sun, 22 Feb 2026 15:00:47 +0800

作者：HinanawiTeriko（2208794899@qq.com）

笔者今日在耍手机途中恰巧看到曼士沉思录的视频, 其中提到一个证明&\sqrt{2}&是无理数的过程, 突然意识到好像从来没有思考过为什么$\sqrt{2}$是无理数, 故记录.

本文2026-02-22首发于HinanawiTeriko's Blog，最后修改于2026-02-22